統計與資料分析
統計分配與臨界值計算器
Statistical Distributions & Critical Values Calculator
計算常態、Student’s t、χ² 與 F 分配的密度、累積與尾端機率、分位數及臨界值。
使用正式分配 · 合法自由度 · χ² 與 F 不用對稱雙尾
計算結果
從你的數字開始
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先理解這項計算
曲線高度是機率密度，區域面積才是機率。CDF 是某位置左側的面積，右尾是右側面積，分位數反過來由累積機率找位置。拒絕域由事先指定的 α 決定；p-value 由觀察統計量決定。
查看計算方式與假設
計算公式
標準常態密度
Student's t 密度
χ² 密度，x≥0
F 密度，x≥0
累積、尾端機率與分位數
變數、利率與期間
- f(x), F(x), S(x)
- 密度、累積與右尾機率；密度不等於單點機率。
- ν, d₁, d₂
- 皆為正的自由度，F 需分子與分母兩組。
- Γ, B
- Gamma 與 Beta 正規化函數。
- xq, q, α
- 分位數、分位機率及拒絕域面積；χ²／F 不用對稱雙尾。
四種分配的角色
- 標準常態以 0 為中心、標準差為 1
- t 在估計未知標準差的平均推論中出現
- χ² 描述平方型統計量，隨自由度改變偏態
- F 是兩個適當縮放的卡方量之比，具有分子與分母自由度，是 ANOVA 的參考
p 與 α 是不同的面積
- α 決定固定的拒絕域
- p-value 是從你觀察到的統計量出發，按選定方向累積更極端的機率
- 比較 p 與 α 才得到門檻式結論，但兩者都不提供效果大小或研究真假的機率
圖的邊界不是機率的邊界
- 圖表只畫出有限的可讀範圍，曲線兩端可能仍有面積
- 數字由完整分配核心計算，不以畫面內的像素或粗略積分估計
- 小自由度可有很長的尾端，超出圖框的位置會另以文字保留
計算常態、Student’s t、χ² 與 F 分配的密度、累積與尾端機率、分位數及臨界值。
實際範例
- 選擇分配並輸入所需自由度；F 需要兩個自由度。
- 選擇統計量／尾端機率，或輸入累積機率求分位數。
- 比較陰影面積、臨界值與 α；χ² 和 F 不提供對稱雙尾捷徑。
常見問題
自由度為什麼會改變 t 的形狀？
用樣本 SD 估計母體 SD 會增加不確定性；較少自由度有較厚尾。自由度增加時，t 接近標準常態，但正式計算仍使用 t。
χ² 與 F 為什麼通常只用右尾？
這些檢定的統計量是平方差加總或變動比，偏離 H₀ 常表現為較大數值。分配一般不對稱，不能把右尾簡單乘二當雙尾。
很小的 p-value 會顯示 0 嗎？
數值下溢與真正為零不同。本工具對下溢的尾端值以界限或科學記號提示，不把無法表示的小值聲稱成精確零；算法未收斂則顯示錯誤。