統計分配與臨界值

先提問，再動手觀察

同一個位置，尾端機率一樣嗎？

切換四種真正的分配曲線，先保留統計量，再比較尾端面積。自由度會改變曲線；α 改變拒絕域，不改變同一統計量的 p。

01 · 先猜猜看同一個正統計量，df 很小的 t 與常態右尾一樣大嗎？

統計量位置 2

自由度 5

對立假設方向

顯著水準 α

df=5 · α=0.05 · p=0.0510

觀察尾端（實色）α 拒絕域（斜線）統計量：點線 · 臨界值：虛線

統計量: 2臨界值: 2.015圖示截取長尾的可讀範圍；機率由完整分配計算，不以圖中面積估算。

選定尾端機率 p0.0510

CDF · P(X≤x)0.94903

PDF · f(x)0.06509密度，不是單點機率

95% 分位數2.015

當選定的參考模型與尾端對應到檢定時，才能把此機率當成 p-value。圖上的陰影沒有驗證抽樣或模型假設。

把統計量想成曲線上的一個位置：越往檢定方向的尾端移動，留下的面積通常越小。但同一位置在不同分配或自由度下，面積並不相同。

標準常態以 0 為中心、標準差為 1；t 在估計未知標準差的平均推論中出現。χ² 描述平方型統計量，隨自由度改變偏態。F 是兩個適當縮放的卡方量之比，具有分子與分母自由度，是 ANOVA 的參考。

α 決定固定的拒絕域；p-value 是從你觀察到的統計量出發，按選定方向累積更極端的機率。比較 p 與 α 才得到門檻式結論，但兩者都不提供效果大小或研究真假的機率。

圖表只畫出有限的可讀範圍，曲線兩端可能仍有面積。數字由完整分配核心計算，不以畫面內的像素或粗略積分估計。小自由度可有很長的尾端，超出圖框的位置會另以文字保留。

展開正式定義與公式

參考分配描述模型成立時統計量可能的取值及機率。分位數與尾端機率使 t、ANOVA、卡方及迴歸檢定能將統計量轉成可比較的證據。

標準常態密度

f (x) = \frac{e^{- x^{2} / 2}}{\sqrt{2 π}}

Student's t 密度

f (x) = \frac{Γ ((ν + 1) / 2)}{\sqrt{ν π} Γ (ν / 2)} {(1 + \frac{x^{2}}{ν})}^{- (ν + 1) / 2}

χ² 密度，x≥0

f (x) = \frac{x^{ν / 2 - 1} e^{- x / 2}}{2^{ν / 2} Γ (ν / 2)}

F 密度，x≥0

f (x) = \frac{{(d₁ / d₂)}^{d₁ / 2} x^{d₁ / 2 - 1}}{B (d₁ / 2, d₂ / 2) {(1 + d₁ x / d₂)}^{(d₁ + d₂) / 2}}

累積、尾端機率與分位數

F (x) = \int f (u) du; S (x) = 1 - F (x); F (xq) = q

曲線高度不是單點的機率；連續分配的單一值機率為零。p-value 不是 H₀ 為真的機率，α=0.05 也不是結論有 95% 機率正確。分配圖不能代替資料假設檢查。

自由度為什麼會改變 t 的形狀？

用樣本 SD 估計母體 SD 會增加不確定性；較少自由度有較厚尾。自由度增加時，t 接近標準常態，但正式計算仍使用 t。

χ² 與 F 為什麼通常只用右尾？

這些檢定的統計量是平方差加總或變動比，偏離 H₀ 常表現為較大數值。分配一般不對稱，不能把右尾簡單乘二當雙尾。

很小的 p-value 會顯示 0 嗎？

數值下溢與真正為零不同。本工具對下溢的尾端值以界限或科學記號提示，不把無法表示的小值聲稱成精確零；算法未收斂則顯示錯誤。