單因子 ANOVA | Finocturne

先提問，再動手觀察

三組平均看起來不同，就代表母體不同嗎？

三組不同學生的示範成績。調整中心間距與組內波動，先看點，再比較均方與 F 的右尾。各組以圓、方、三角形區分。

01 · 先猜猜看只有三個平均數不相等，就足以宣稱每一組都不同嗎？

相鄰組平均差（分） 4

組內基本 SD（分） 6

每組觀察數 8

三組資料點與平均數

整體平均（虛線） = 50 · 組平均（粗短線）

閱讀全部觀察值

序號	A	B	C
1	37.43	41.43	45.43
2	39.88	43.88	47.88
3	42.33	46.33	50.33
4	44.78	48.78	52.78
5	47.22	51.22	55.22
6	49.67	53.67	57.67
7	52.12	56.12	60.12
8	54.57	58.57	62.57

檢定方法

顯著水準 α

Classical 假設各組母體變異數相等；Welch 允許不等變異。兩者都需要獨立觀察，不能用 Welch 處理配對或重複測量。

比較不等波動：B 為兩倍、C 為三倍 SD

H₀: μA=μB=μC · H₁：至少一個平均不同

組間與組內平方和分別除以自由度

MSB = \frac{256}{2} \approx 128; MSW = \frac{756}{21} \approx 36

Classical F：組間均方除以組內均方

F = \frac{128}{36} \approx 3.5556

F使用右尾機率；整體顯著只支持至少一個母體平均不同，不表示每一對都不同。

組間與組內：比較均方

組間 MS

128

組內 MS

MS＝SS／df。比較每自由度的變動，不直接比較自由度不同的原始 SS。

來源	SS	df	MS
組間	256	2	128
組內	756	21	36
合計	1,012	23	—

F · 參考分配

df₁=2, df₂=21 · α=0.05 · p=0.0468

觀察尾端（實色）α 拒絕域（斜線）統計量：點線 · 臨界值：虛線

統計量: 3.556臨界值: 3.467圖示截取長尾的可讀範圍；機率由完整分配計算，不以圖中面積估算。

F3.556df₁=2, df₂=21

p-value0.0468

η²0.253樣本組間變動比例

在選定 α 下拒絕 H₀；仍需檢查假設與實際差異的大小。

未提供自動事後組別判定。Tukey／Tukey–Kramer、Games–Howell 與多重比較的選擇，見下方教學。金融策略若共用市場月份，不能直接假設三組獨立。

你剛剛看到了什麼？

三組中心相距 5 分，但每組學生差異只有 1 分，與中心相距 5 分而每組差異達 15 分，帶來的證據不同。組間距離需要和組內分散一起看。

看三組資料，不只看三個平均

圖中的圓、方與三角形代表三組資料；粗短線標示組平均，虛線標示整體平均。把組平均拉開會提高組間變動；把每組內的點攤開會提高組內變動。樣本數也會影響估計精度與自由度。

F 是兩種均方的比

SS Between 衡量組平均與整體平均的距離，按組筆數加權；SS Within 衡量各點與所屬組平均的距離。分別除以 k−1 和 N−k 得到 MS。Classical F=MS Between／MS Within；右尾面積是該模型下的 p-value。

選 Classical 還是 Welch

Classical 使用共同誤差變異數，且假設組內誤差近似常態及觀察獨立。Welch 依各組估計變異數給權重，並調整 F 與自由度；不以相同的 SS 分解呈現。若組別變異數不同且人數不均，方法選擇尤其重要。

事後比較與多重錯誤

逐對重複未校正 t 檢定，會提高整個比較家族至少一次誤拒絕的機率。Tukey HSD 用於等變異數下所有成對平均比較；Tukey–Kramer 可處理不同組筆數。Games–Howell 針對不等變異數與不同筆數。選方法需要考慮原先問題及假設，而非挑出最小 p-value。

顯著、效果量與實際價值

η² 為 SS Between／SS Total，描述這份樣本的組間變動比例。p-value 回答證據與 H₀ 的相容程度，η² 描述變動比例，實際價值還需要原始單位的平均差與成本判斷；這三者不能互相替代。

再看一個例子

輸入至少三組原始觀察，可分別命名及使用不同筆數。
依等變異數假設是否合理，選 Classical 或 Welch，並設定 α。
閱讀組別統計、F 與 p-value；Classical 另看 SS／MS 表及 η²，之後才考慮事後比較。

展開正式定義與公式

單因子 ANOVA 檢定一個分類因子下多個獨立組別的母體平均數是否相等。名字叫變異數分析，是因為它利用變動的分解來檢定平均數。

Classical 平方和與 F

SSB = \sum nⱼ {(x̄ⱼ - x̄)}^{2}; SSW = \sum \sum {(xᵢⱼ - x̄ⱼ)}^{2}; F = \frac{\frac{SSB}{k - 1}}{\frac{SSW}{N - k}}

Welch 權重與修正

wⱼ = \frac{nⱼ}{{sⱼ}^{2}}; W = \sum wⱼ; C = \sum \frac{{(1 - wⱼ / W)}^{2}}{nⱼ - 1}; F = \frac{\frac{\sum wⱼ {(x̄ⱼ - x̄w)}^{2}}{k - 1}}{1 + \frac{2 (k - 2) C}{k^{2} - 1}}

Welch 自由度與 Classical 效果量

ν₁ = k - 1; ν₂ = \frac{k^{2} - 1}{3 C}; η^{2} = \frac{SSB}{SSB + SSW}

k, N, nⱼ: 組數、總觀察數及第 j 組樣本數。
x̄ⱼ, x̄: 組平均與依樣本數加權的整體平均。
SSB, SSW, MS: 組間／組內平方和；MS=SS/df。
wⱼ, W, x̄w, C: Welch 權重、權重總和、加權平均及修正項。
ν₁, ν₂, η²: F 的分子／分母自由度；Classical 樣本效果量。
H₀: 所有組的母體平均數相同。

常見誤區

整體 ANOVA 顯著，只支持至少一個母體平均不同，不是每一對都不同。η² 描述樣本中組別解釋的變動比例，不能當作因果證明，也不能把 Welch F 塞入 Classical 的 SS／MS 表。

常見問題

ANOVA 顯著後，哪些組不同？

需要預先規劃的比較或經多重校正的事後方法。這一版提供整體檢定與方法教學，不提供自動 Tukey 或 Games–Howell 組別判定。

Welch 可以解決所有假設問題嗎？

不能。Welch 處理不等變異數與不等樣本數的平均比較，但仍須有獨立、適當分布的觀察，也可能受離群值影響。

三組策略報酬可以直接比較嗎？

相同市場月份的策略報酬可能有共同市場衝擊與時間相关，並非三組獨立觀察。應先檢查資料結構；單因子獨立樣本 ANOVA 不處理重複測量或時間序列。

學完這頁，你可以…

拆分組間與組內差異
區分整體顯著、效果量與事後比較