線性迴歸與擬合

先提問，再動手觀察

市場多 1 百分點，個股擬合值改變多少？

X 是市場月報酬，Y 是個股月報酬。改變示範斜率與擾動，再加入離群配對；觀察最小平方法重新擬合的直線。

以下為示範資料，並非即時行情。月報酬 2 = 2%；標準差與報酬差額以百分點計，不做年化。

01 · 先猜猜看若擬合斜率是 1.5，X 增加 1 百分點，Ŷ 改變多少？

資料生成斜率 1.5

資料擾動幅度 0.5 百分點

觀察值與擬合直線

個股月報酬（%）

市場月報酬（%）

配對觀察值（圓點）擬合直線（虛線）

查看觀察值

第 1 筆 · 市場月報酬（%）: -3個股月報酬（%）: -3.5

閱讀資料表

7 筆觀察值；單位標示於欄位標題。
序號	市場月報酬（%）	個股月報酬（%）
1	-3	-3.5
2	-2	-3
3	-1	-1.5
4	0	1.5
5	1	1.5
6	2	3
7	3	5.5

Ŷ = 0.50 + 1.50X

以目前擬合係數代入選取的市場月報酬率%

Ŷ = 0.5 + (1.5) \times 1 \approx 2

截距與斜率由目前配對資料的最小平方法求得；這是條件估計，不是保證報酬。

擬合斜率1.50

截距（X=0 時）0.50%

R²96.18%

配對樣本數7

查看直線上的市場報酬 X 1%

X=1.00% 時，Ŷ=2.00%。X 每增加 1 百分點，擬合值改變 1.50 百分點。R²=96.18% 描述這批樣本中，直線相對於只用 Y 平均所減少的平方偏差比例。

這個市場／個股同期間報酬模型的斜率可用來理解樣本 Beta；截距只是 X=0 時的擬合 Y，不是已完成風險調整的 Jensen's alpha。r 是對稱的線性關聯量，迴歸則指定 X→Y 方向與單位。擬合、R² 或 Beta 不保證未來報酬，也不是價格預測或買賣建議。

最小平方法找出使所有垂直殘差平方和最小的截距與斜率；殘差是觀察 Y 減去擬合 Ŷ。含截距的一元線性迴歸中，Y 有變異時 R²=r²。

你剛剛看到了什麼？

斜率像模型的換算尺：市場每增加一個百分點，正斜率模型的擬合個股報酬增加 b 個百分點；負斜率則反方向。

樣本擬合與限制

殘差是實際 Y 減去擬合 Y。離群值可能明顯改變斜率與截距；自相關、異質變異或非線性也會影響解讀。本工具不提供係數信賴區間、因果結論或買賣建議。

再看一個例子

輸入同期間的市場 X 與個股 Y 報酬，2 代表 2%。
擬合含截距的簡單線性迴歸，查看散布圖與擬合線。
一起解讀斜率、截距、R² 與殘差，檢查離群值和模型限制。

展開正式定義與公式

含截距的簡單線性迴歸用最小平方法，找出一條使 Y 方向殘差平方合最小的直線。

含截距的最小平方法

ŷ = a + b x; b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x̄) (y_{i} - ȳ)}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x̄)}^{2}}; a = ȳ - b x̄

擬合值等於截距 a 加上斜率 b 乘 X；b 是配對偏差乘積和除以 X 偏差平方和，a 是 Y 平均減 b 乘 X 平均。

殘差與樣本解釋比例

e_{i} = y_{i} - ŷ_{i}; R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {e_{i}}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - ȳ)}^{2}}

殘差是觀察 Y 減擬合 Y。R平方等於 1 減殘差平方和除以 Y 相對平均的總平方和；Y 無變異時無定義。

xᵢ / yᵢ: 同一期間的觀察值；報酬率輸入 2 表示 2%，以百分數數值直接計算。
a / b / ŷ: a 是 X=0 的擬合 Y；b 是 X 每多一百分點時，擬合 Y 改變的百分點數。Ŷ 是擬合值，並非未來保證。
eᵢ / R²: eᵢ 是觀察 Y 減擬合 Y。R² 是這批樣本的平方偏差減少比例，Y 無變異時無定義。
Model: 斜率可理解為本市場／個股報酬模型的樣本 Beta；截距不是完成風險調整的 Jensen's alpha。

常見誤區

不要把一般報酬的截距當成已完成風險調整的 alpha，也不要用資料內 R² 宣稱模型可以準確預測未來股價。

常見問題

這個斜率可以理解為 Beta 嗎？

當 X 是市場報酬、Y 是個股報酬且期間與單位一致時，斜率可描述該樣本的市場敏感度。估計會受樣本期間、資料品質與模型假設影響。

截距就是 Jensen’s alpha 嗎？

不能直接這樣宣稱。本工具使用一般報酬配對，沒有先建立以無風險利率扣除後的超額報酬 CAPM 模型，也沒有完成風險調整績效檢定。

R² 高代表可以預測股價嗎？

不代表。R² 描述資料內 Y 變異的解釋比例，不是因果證明，也不是未來預測準確率或買賣建議。

X 或 Y 完全固定時會怎樣？

X 無變異時，斜率無法唯一決定。Y 無變異時可得到水平擬合線，但 R² 與 Pearson r 無定義，不能當成完美解釋。

學完這頁，你可以…

斜率與截距如何決定擬合線
R² 與資料內解釋比例的限制

詞彙參考3 個名詞

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