統計與資料分析
Z-score 標準分數
Z-score
把一筆月報酬放上刻度，看它在平均的哪一側、離平均多遠。
先提問，再動手觀察
6% 高出平均多遠？
假設月報酬平均 2%、標準差 2 百分點。拖曳觀察值，將百分點距離換成標準差距離。這是一把刻度尺，不是常態分配圖。
以下為示範資料，並非即時行情。月報酬 2 = 2%；標準差與報酬差額以百分點計，不做年化。
你剛剛看到了什麼？
平均為 2%、為 2 個百分點時，6% 在平均右側兩格，−2% 在左側兩格。
標準化不等於常態化
不需要先假設常態分配，卻也不會消除厚尾、偏態或時間相依性。圖上的刻度表示距離，不表示任何特定機率。
再看一個例子
- 輸入觀察報酬 6、平均報酬 2，單位均為 %。
- 輸入標準差 2，表示 2 個百分點。
- 計算 (6−2)÷2=2，讀取高於平均兩個標準差的位置。
展開正式定義與公式
Z-score 是以標準差為尺，衡量一筆觀察與參考平均值之間的有方向距離。
標準分數
Z 等於觀察值減平均，再除以同單位且為正的標準差。
- xᵢ / yᵢ
- 同一期間的觀察值；報酬率輸入 2 表示 2%，以百分數數值直接計算。
- μ / σ
- 參考平均與正的標準差，必須與觀察值使用相同單位；σ=0 時 Z 無定義。
- Z
- 無單位的相對位置；不是常態假設，也不是事件機率。
常見誤區
Z-score 是相對位置，不是常態分配證明、異常機率或投資訊號。平均值與標準差若來自不相稱的期間，位置也可能誤導。
常見問題
Z-score 有單位嗎？
沒有。觀察值、平均值及標準差的輸入單位必須一致，相除後得到無單位的相對距離。
Z=2 代表某事件的機率嗎？
不直接代表。標準化不會讓資料自動變成常態分配；要換成尾端機率，還需要適當且經驗證的分配模型。
標準差為 0 時怎麼辦？
此時無法除以標準差，Z-score 無定義；即使觀察值剛好等於平均，也不應顯示為 0。
學完這頁，你可以…
- 以標準差量出有方向的距離
- 標準化不代表常態分配或機率
詞彙參考3 個名詞
需要時再查；內文有底線的名詞也可以直接點開。