Finocturne
統計與資料分析

平均值信賴區間

Mean Confidence Interval

樣本平均只是估計：改變樣本數、波動與信心水準，看看估計區間如何伸縮。

先提問，再動手觀察

平均 2%，估計能有多精確？

固定樣本平均月報酬 2%，母體標準差未知。調整 n、樣本 SD 和信心水準；比較目前的 Student's t 區間與固定基準。

以下為示範資料，並非即時行情。月報酬 2 = 2%；標準差與報酬差額以百分點計，不做年化。

01 · 先猜猜看其他條件相同，樣本數增加，區間通常如何改變？
目前 95% 平均信賴區間 0.31% 至 3.69%。橫軸為平均月報酬率%。下方虛線為固定基準。-0.2%2.0%4.2%

實線：目前區間；虛線：固定基準 n=24、s=4 百分點、95%。兩條使用同一刻度，刻度依較寬的區間調整。

平均數標準誤（百分點）

SE=424≈0.8165

t臨界值來自目前信心水準與n−1自由度

ME=2.0687×0.8165≈1.6891

平均數加減誤差邊界，兩端為月報酬率%

2±1.6891⇒[0.3109,3.6891]
下界 / 上界0.31% – 3.69%
標準誤 SE0.82 百分點
誤差幅度1.69 百分點
t 臨界值 / 自由度2.0687 / 23

目前區間寬度是 3.38 百分點。增加 n 會縮窄；增加 s 或提高信心水準會加寬。這是對平均的估計，不是個別月份的報酬範圍。

95% 指：在適用假設下反覆抽樣並用相同方法建構區間，長期約 95% 的區間會涵蓋固定的母體平均。不能說已算出的區間有 95% 機率包含真實平均。樣本需獨立；小樣本要求近似常態。金融資料的自相關、厚尾或非獨立性可能破壞這些假設。

先求 SE=s/√n，再乘自由度 n−1 對應的 t 臨界值，得到誤差幅度；以平均加減這個幅度。

你剛剛看到了什麼？

把相同資料想成反覆抽樣的一次結果：更多獨立觀察通常降低平均估計的變動，而較大的波動需要更寬的區間。

t 方法的假設

觀察應為具代表性的獨立樣本；小樣本時，母體近似常態尤其重要。自由度為 n−1，至少需要兩筆觀察。較大樣本並不自動修正自相關或抽樣偏差。

標準差與標準誤不同

樣本描述個別觀察的分散，標準誤 s÷√n 描述在假設下樣本平均的抽樣變動。區間估計母體，並不描述個別月份的報酬範圍。

再看一個例子

  1. 輸入平均 2%、樣本標準差 4 個百分點及樣本筆數 12，或提供完整樣本資料。
  2. 選擇 95% 信心水準；未知母體標準差使用 t 方法，自由度為 11。
  3. 比較標準誤、誤差邊界與上下界，並檢查獨立抽樣與分配假設是否合理。
展開正式定義與公式

平均值信賴區間是按特定抽樣方法建立的母體平均值估計區間；t 方法以樣本標準差取代未知的母體標準差。

平均的雙尾 t 信賴區間

樣本平均加減自由度 n−1 的 t 臨界值乘樣本標準誤，母體標準差未知。

標準誤與誤差幅度

標準誤等於 s 除以 n 的平方根；誤差幅度等於 t 臨界值乘標準誤。

n / x̄ / s
n 是樣本觀察數，x̄ 是樣本平均，s 是以 n−1 作變異數分母的樣本標準差。
1−α / df
信心水準為 1−α，自由度 df=n−1；本工具使用雙尾 Student's t。
t* / SE / ME
t* 是指定自由度與信心水準的分位數，SE=s/√n，ME=t*×SE。
Units
報酬率的平均與界限用 %，標準差、標準誤及誤差幅度用百分點；變異數用百分點平方。不做年化。

常見誤區

不要把平均值區間當成下一筆報酬的預測範圍，也不要把 95% 寫成固定真實平均值落在這個已算出區間的機率。

常見問題

95% 信賴區間是什麼意思？

若以相同方法反覆獨立抽樣並建立區間，在假設成立時約 95% 的區間會涵蓋固定的真實母體平均值。不是說已算出的這個區間有 95% 機率含有真實平均。

為什麼不用固定的 1.96？

母體標準差未知，且以樣本標準差估計時，t 臨界值依自由度與信心水準而變；小樣本的 t 臨界值通常大於同水準的常態臨界值。

可以直接用每日股票報酬嗎？

可計算，但仍須檢查假設。自相關、波動群聚、厚尾或不具代表性的樣本，可能讓簡單的平均值 t 區間無法提供名目的涵蓋率。

學完這頁，你可以…

  • 樣本數、波動與信心水準如何改變區間
  • 95% 信賴區間的反覆抽樣意義
詞彙參考3 個名詞

需要時再查；內文有底線的名詞也可以直接點開。