統計與資料分析
平均值與標準差
Mean & Standard Deviation
平均月報酬一樣，經歷的漲跌也一樣嗎？調整示範資料，看見平均與波動回答不同問題。
先提問，再動手觀察
同樣平均 2%，漲跌也一樣嗎？
兩組六個月報酬的平均固定相同。改變 B 的分散程度，再加入一對正負極端值，先猜哪些數字會改變。
以下為示範資料，並非即時行情。月報酬 2 = 2%；標準差與報酬差額以百分點計，不做年化。
你剛剛看到了什麼？
兩組平均月報酬都為 2%，一組每月接近 2%，另一組常在大漲大跌之間擺動；看不出兩者的差別。
單位與頻率
報酬輸入 2 代表 2%，不是 2 倍。所有觀察應使用一致頻率；以百分點呈現，資料不自動年化。示範資料只用來說明概念。
平方偏差與極端觀察
偏離的數據先平方，因此極端觀察對變異數的影響特別大。樣本變異數以 n−1 調整估計偏差；不表示樣本本身完全無偏。
再看一個例子
- 以百分比數字輸入 −2、0、2、4、6；2 代表 2%。
- 計算平均值與兩種標準差，確認共有 5 筆觀察。
- 比較 n−1 與 n 的分母：同一資料的樣本標準差略高。
展開正式定義與公式
算術平均值是觀察數據的合計除以筆數；變異數平均衡量相對平均值的平方偏差，標準差則將它轉回原始單位。
平均
平均等於觀察值合計除以觀察數 n。
樣本變異數與標準差
樣本變異數以 n−1 作分母；樣本標準差是其平方根，n 必須大於 1。
母體變異數與標準差
母體變異數以 N 作分母；母體標準差是其平方根，μ 是這組完整母體的平均。
- xᵢ / yᵢ
- 同一期間的觀察值；報酬率輸入 2 表示 2%，以百分數數值直接計算。
- n / x̄ / s
- n 是樣本觀察數，x̄ 是樣本平均，s 是以 n−1 作變異數分母的樣本標準差。
- N / μ / σ
- N 是完整母體的觀察數，μ 是母體平均，σ 是以 N 作變異數分母的母體標準差。
- Units
- 報酬率的平均與界限用 %，標準差、標準誤及誤差幅度用百分點；變異數用百分點平方。不做年化。
常見誤區
不要把低波動當成保證獲利，也不要把算術平均月報酬直接乘 12 視為實際年報酬。只有一筆觀察的樣本標準差無定義，並非零。
常見問題
應該看樣本還是母體標準差？
若資料只是想推論的更大母體的一部分，通常使用樣本標準差。若只描述完整列出的資料組，母體標準差可描述該組資料本身。
標準差與變異數有什麼差別？
標準差是變異數的平方根，與原始數據同單位。報酬以百分比輸入時，標準差是百分點，變異數是百分點平方。
月報酬的標準差是年化波動率嗎？
不是。本工具維持輸入資料的觀察頻率，不默默乘上年化係數；年化另需頻率與獨立性等假設。
學完這頁，你可以…
- 平均相同也可能有不同波動
- 樣本與母體標準差的分母差異
詞彙參考2 個名詞
需要時再查；內文有底線的名詞也可以直接點開。