t 檢定
Student’s t-test
以原始資料或摘要統計進行單樣本、Welch／pooled 雙樣本與配對 t 檢定，查看平均差、標準誤、p-value 與信賴區間。
先提問，再動手觀察
平均差距相同，證據也一樣嗎？
兩組獨立樣本的平均分別為 50 加上差距、以及 50。先猜：只增加波動，平均差不變，t 的絕對值會維持嗎？
你剛剛看到了什麼？
3 分鐘的差距，可能在每筆測量都很穩定時相當明顯，卻在測量波動很大時難以區分。真正要比較的是差距相對於估計誤差有多大。
先定義要回答的問題
單樣本的 H₀ 是母體平均等於 μ₀；獨立與配對檢定通常檢定平均差為 Δ₀。H₁ 可以是不相等、大於或小於。α 是事先容許的第一類錯誤率；應在收集或檢視結果前選定方向與門檻。
標準差、標準誤與效果
樣本 SD 描述個別觀察的分散；SE 描述估計平均的抽樣變動。相同平均差在大樣本可能顯著，卻仍沒有實際價值。請同時問：差了多少、區間有多寬，以及差異是否足以影響決策。
獨立與配對不能混用
不同個體的兩組資料使用獨立雙樣本方法。相同個體的前後測則先算一對一差值；兩欄缺值須整對處理，不能各自刪除後重新湊對。互動表中的差值與配對 t 都保留原來的配對關係。
t 方法的條件
觀察或配對差值應具有代表性且彼此獨立。小樣本時需要近似常態且沒有強烈離群值；較大樣本也不能自動修正選樣偏差、自相關或重尾。金融報酬常有波動群聚與時間相依性，不能把更多交易日直接當成更多獨立樣本。
再看一個例子
- 選擇單樣本，輸入資料或 n=20、平均=53、樣本 SD=6。
- 設定 μ₀=50、α=0.05，事先選定雙尾或單尾方向。
- 同時閱讀平均差、標準誤、自由度、p-value 和對應區間；檢查抽樣假設。
展開正式定義與公式
t 檢定在未知母體標準差時，利用樣本標準差估計平均數或平均差的抽樣不確定性，再與 Student’s t 參考分配比較。
單樣本與配對差值
Welch 平均差與標準誤
Pooled 等變異數與雙側區間
- H₀ / H₁
- 虛無與對立假設，方向須在看資料前設定。
- x̄, μ₀, s, n
- 樣本平均、假設平均、樣本標準差及樣本數。
- vA, vB, ν
- sA²/nA、sB²/nB 及 Welch 自由度，可為小數。
- sp², SE
- pooled 合併變異數與標準誤；pooled 需等變異假設。
- dᵢ, δ₀
- A−B 配對差值及假設差異。
- α, p
- 事先指定的顯著水準與虛無模型下的極端尾端機率。
常見誤區
未拒絕 H₀ 不能寫成已證明沒有差異；p-value 小也不表示效果大。把同一人的前後測當獨立樣本，或在看完資料後挑選單尾方向，都會改變問題與錯誤率。
常見問題
為什麼獨立雙樣本預設 Welch？
Welch 允許兩組母體變異數不同，使用各組標準誤與近似自由度。pooled 方法額外假設等變異數，不能只因為兩組人數相同就選它。
配對檢定與雙樣本有什麼差別？
配對檢定對每個單位的差值做單樣本 t 檢定。前後測的共同個體差異可能互相抵消，但每對差值仍需符合獨立性與適當分布假設。
單尾信賴區間為什麼只有一邊？
單尾對立假設對應單側信賴界限；另一端無界。本工具以無界標示該端，不以假造的有限數值取代。雙尾檢定對應雙側區間。
學完這頁，你可以…
- 比較平均差異與標準誤
- 理解配對、Welch 及檢定方向