二項樹與 BSM 定價

定價是在今天比較未來不同的權利

歐式買權允許持有人在到期日用履約價 K 買入標的。若到期股價高於 K，權利有價值；否則可以不履約。定價問題是「這個尚未確定的未來權利，今天值多少」，而不是已付權利金後最後賺多少。可和到期損益對照，後者還要扣除已支付的權利金。

即使今天股價等於履約價，未來仍可能上漲而產生價值。理解這一點後，再看模型如何描述可能價格、分配狀態權重，並把未來金額折回今天。以下數字都是教學假設，不是真實市場報價。

先用兩個狀態理解一階二項樹

假設股價與履約價都是100，一年後只可能上升20%至120，或下降20%至80，無風險利率為零。Call 的兩個到期給付分別為20與0。持有半股並借入40，現在成本是50−40＝10，到期也恰好得到20或0，因此無套利價格為10。

這個複製組合說明定價不需要先猜「上漲機率是多少」。若兩種資產在所有模型狀態下給付相同，卻有不同價格，就能買便宜、賣昂貴的一組產生套利；模型用相同價格排除此矛盾。

風險中立機率是定價權重

同一棵樹在零利率時，風險中立上漲權重為 (1−0.8)／(1.2−0.8)＝0.5，定價就是 (0.5×20＋0.5×0)＝10。若有效年利率改為5%，一年成長因子是1.05，權重變成0.625，價值為12.5／1.05＝11.9048。

這個權重讓股票在定價世界的期望增長符合無風險利率，不是聲稱真實上漲機率為62.5%。若公式用連續複利 r，有效年利率5%須先換成 ln(1.05)，不能不分慣例直接代入0.05。上下成長因子還須包住無風險成長因子，才能得到合法的0到1權重。

上方互動與Black–Scholes比較什麼

上方互動不是固定±20%的那棵樹，而是依波動率 σ 與期間 T 設定 u＝exp(σ√T)、d＝exp(−σ√T)。股價與履約價100、T＝1、連續利率5%、波動率20%時，一階樹約12.1623，Black–Scholes約10.4506。兩者的未來價格分布不同，答案不必相等。

Black–Scholes在固定波動率、連續交易等理想條件下處理連續範圍的價格；一階樹只留兩個終點。增加樹的步數可研究收斂，但本頁沒有執行多階收斂計算，不能把一階差距直接當成某個模型的錯誤。

改變波動率，理解權利的非對稱性

調高波動率時，觀察樹的上下終點與兩種模型價值。買權買方可放棄不利結果，卻保留有利上漲；在其他條件固定的本頁模型中，較大的不確定性通常提高買權價值。這不是說價格必定上升，而是凸形給付對分散程度敏感。

本頁僅涵蓋無股利歐式買權，假設參數固定、沒有交易成本且可按無風險條件交易。真實波動率會變、價格可能跳躍，且有買賣價差與避險限制。模型價值不能當成成交保證，更不能直接用於美式提前履約或有股利契約。

適用範圍與模型限制

僅示範無股利歐式買權、不含交易成本、參數固定。一階樹是教學近似，不是已收斂的多階模型或美式選擇權模型。